Ch01. Speaking Mathematically

Statement = Proposition : 명제

- 정의: 참이나 거짓으로 판단할 수 있는 문장

- 종류

1) Universal Statement: 한 집합의 모든 요소에 대해서 참

2) Conditional Statement: 특정 조건만 포함

3) Existential Statement: 조건을 만족하는 요소가 1개 이상 있다.

4) Universal Conditional Statement: universal & conditional

5) Universal Existential Statement: 첫 부분은 universal, 두 번째 부분은 existential

6) Existential Universal Statement: 첫 부분은 existential, 두 번째 부분은 universal

Set : 집합

- 정의: 특정 조건을 만족하는 요소들의 모임

- ex) { x | 0 < x < 5 }

Russell's Paradox

R = {x | x is a set and x is not an element of itself}

정의에 따르면 R이 R의 요소라면, R은 R의 요소일 수 없다.

또한, R이 R의 요소가 아니라면, R은 R의 요소이다.

-> 모순적

Cartesian product

A X B : Cartesian product of A and B

B X A : Cartesian product of B and A

정의: A X B = {(x, y) | x is a member of A, y is a member of B}

ex) A = {1, 2} / B = {3, 4} -> A X B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

Relation

- 공집합이 아닌 집합 A에 대해 A에 대한 relation = A X A의 subset

- 종류

1) Reflexive

ex) A = {1, 2, 3, 4}일 때

R1 = { (1, 1), (2, 2) } 라면, 이 집합은 Reflexive하지 않다.

이유: (3, 3), (4, 4)가 없다.

R2 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (2, 3) } 라면, 이 집합은 Reflexive하다.

이유: (1, 1)~(4, 4)가 모두 있다. (2, 3)은 상관이 없다.

2) Symmetric

ex) R3 = 공집합이라면, 이 집합은 Symmetric하다.

이유: 집합에서 요소들의 쌍이 없기 때문에

R4 = { (1, 2), (2, 1), (2, 2) } 라면, 이 집합은 Symmetric하다.

R5 =  { (1, 2), (2, 1), (2, 3) } 라면, (3, 2)가 없어 Symmetric하지 않다.

3) Transitive

R6 = { (1, 5), (5, 1), (1, 1) } 이라면 만족할 수 없다.

(1, 5), (5, 1) -> (1, 1) 이지만

(5, 1), (1, 5) -> (5, 5)도 있어야 하는데 없다.